Ecuación de la circunferencia con ejemplos resueltos
La circunferencia es uno de los temas más importantes de las materias de Matemáticas y de Geometría Analítica, por lo que conocer sus elementos y su ecuación es uno de los primeros pasos para comprenderla.
Para facilitarte este tema y que te sea más sencillo enfrentarte a ejercicios relacionados, en este artículo te explicaremos la ecuación de la circunferencia y cómo utilizarla para obtener la información necesaria sobre ella.
¿Qué es una circunferencia?
Antes de comenzar este tema, es necesario que entendamos que la circunferencia es una curva cerrada en la que todos los puntos se encuentran a la misma distancia de un punto fijo en el plano. La distancia recibe el nombre de radio, mientras que el punto se conoce como centro.
El centro se encuentra simbolizado por h, k, mientras que el radio se representa con la letra r. Fíjate en el siguiente esquema:
Una de las características más importantes de la circunferencia es que, sin importar en donde se mida el punto (p), siempre será equidistante. Esto se representa de la siguiente manera:
$$d(C,P)=r$$
Donde la distancia entre C y P es igual al radio.
Ecuación ordinaria y general de la circunferencia
La circunferencia puede ser expresada en dos maneras distintas: por medio de la ecuación ordinaria o canónica y utilizando la ecuación general. Por lo regular, en tu examen de admisión o en los exámenes de la asignatura de Matemáticas te encontrarás ejercicios con ambas formas.
Ecuación ordinaria de la circunferencia
En la ecuación ordinaria, se conocen los valores de h, k y r, por lo que se saben los datos del centro y del radio.
$$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$$
Por ejemplo, puedes encontrar los valores de la circunferencia cambiando los signos y obteniendo la raíz cuadrada de la igualdad para conocer el valor del radio:
$${(x-1)}^2+{(y+2)}^2=9$$
Por lo tanto, los valores de la circunferencia serán:
$$C=1,-2$$
$$r=3$$
Ahora que conoces los puntos de C y r, podrás graficarlos dentro de un plano cartesiano.
Ecuación general de la circunferencia
Otra manera de representar a la circunferencia es por medio de la ecuación general. En realidad, esta ecuación es el resultado de desarrollar los binomios de la ecuación oridinaria y agruparlos con sus términos semejantes. El resultado es el siguiente:
$$Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0$$
La manera de encontrar los valores para C y r dada la ecuación general es completando el trinomio cuadrado perfecto y factorizarla. Revisemos un ejemplo con la siguiente ecuación:
$$x^2+y^2-2x+6y-6=0$$
Paso 1. Ordena los términos para que las x y las y queden agrupadas. El término independiente puedes moverlo después de la igualdad. No olvides cambiar el signo.
$$x^2-2x+y^2+6y=6$$
Paso 2. Completa el trinomio cuadrado perfecto. Esto se logra dividiendo el segundo término a la mitad y elevándolo al cuadrado.
$$x^2-2x+{\frac{2}{2}}^2+y^2+6y+{\frac{6}{2}}^2=6$$
$$x^2-2x+1+y^2+6y+9=6$$
Para no afectar la ecuación, todos los términos que acabamos de añadir también se agregarán a la igualdad.
$$x^2-2x+1+y^2+6y+9=6+1+9$$
$$x^2-2x+1+y^2+6y+9=16$$
Paso 3. Ahora que ya se completó el trinomio cuadrado perfecto, es necesario que factorices la ecuación para encontrar los términos de h,k.
$${(x-1)}^2+{(y+3)}^2=16$$
Como ves, ésta es la ecuación ordinaria de la circunferencia y la que indica los valores de C y r. Por lo tanto:
$$C=1, -3$$
$$r=4$$
Las matemáticas son temas seriados, por lo que es necesario que cuentes con conocimientos previos de álgebra para factorizar sin problemas. En la plataforma en línea de Unitips de ingreso a la universidad encontrarás videos y recursos para repasar estos temas. Regístrate sin costo en el siguiente enlace para conocer más.
Ejercicios de la ecuación de la circunferencia
Ya sabes cómo obtener los valores de la circunferencia convirtiendo la ecuación general en una ecuación canónica. Sin embargo, otro ejercicio frecuente que te puedes encontrar en evaluaciones o en tu examen de admisión a la universidad, es obtener una ecuación general a partir de valores dados.
Revisemos un ejemplo:
¿Cuál es la ecuación general de la circunferencia con centro en C(-4,2) y con un diámetro de 8?
Los datos que proporciona el problema son: C(-4,2) y D=8. Recuerda que el radio es la mitad del diámetro, por lo que r=4 y del centro se obtiene en h= -4 y k=2.
Sabiendo el valor de h, k y r, se sustituyen en la ecuación ordinaria de la circunferencia. No olvides cambiar los signos.
$${(x+4)}^2+{(y-2)}^2=4^2$$
Ahora, es momento de resolver los cuadrados de cada expresión en la ecuación:
$$4x+x^2+4x+16-2y+y^2-2y+4=16$$
Agrupa los términos semejantes e iguala a 0 la ecuación, pasando la igualdad junto a los otros términos:
$$x^2+8x+16-4y+y^2+4-16=0$$
Por último, resuelve las operaciones faltantes y acomoda la ecuación de acuerdo con la forma general.
$$x^2+y^2+8x-4y+4=0$$
¡Listo! Como ves, no es difícil trabajar la ecuación de la circunferencia, pero practicar y resolver ejercicios será la mejor forma de dominarla. Sigue revisando más temas de la guía de estudio a la universidad.
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