Después del principio del cálculo: La derivada
En el blog “Principios del cálculo para tu examen de la UNAM” se habló sobre los límites, en esta ocasión, abordaremos un tema un tanto más complejo, pero que es necesario que aprendas para poder responder de manera exitosa, tu examen de la UNAM y los demás temas para el examen: “La derivada”.
La derivada en si, es el valor de un límite y se puede obtener mediante ese mismo, es conocido como “la derivada de los 4 pasos” y está representado como:
$$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Al encontrar la derivada de una función, esta se puede expresar de diferentes maneras, por ejemplo:
$$y'=f'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{df(x)}{dx}=D_{x}y$$
Para encontrar la derivada de una función no solamente se utiliza “la derivada por los 4 pasos”, también se inventaron las siguientes fórmulas para realizar el procedimiento más rápido y directo, a continuación mencionaremos las más importantes y utilizables para tu examen de la UNAM:
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Como puedes notar, establecimos 11 formulas y cada una con un ejemplo en donde se destaca como se utiliza cada fórmula integrando y combinando las anteriores.
Nota: Cuando una función contiene una raíz te recomiendo expresar esa raíz en una potencia, recordando que:
porque así se evita aumentar más fórmulas a tu cabeza y también tratar esa potencia fraccionaria con la fórmula número 4 que se menciona en el blog.
A continuación se realizará un ejercicio explicando cada paso para que en tu examen de admisión a la UNAM aumente de probabilidad y no te quedes estupefacto:
- Encuentra la derivada de la siguiente función:
NOTA: Hay que ver qué operación es más grande, es decir, de afuera hacia adentro, tomar la operación que cubra a las otras operaciones para así decidir qué fórmula utilizar
1.- Se utiliza la fórmula número 5, ya que se está realizando una multiplicación entre
$$(x^{4}+1)$$ y $$sen(\frac{x}{4})$$
$$\frac{d}{dx}(x^{4}+1)sen(\frac{x}{4})=(x^{4}+1)\frac{d}{dx}sen(\frac{x}{4})+sen(\frac{x}{4})\frac{d}{dx}(x^{4}+1)$$
2.- Se emplea la fórmula número 7 sabiendo que se multiplica por la derivada del argumento del seno, es decir, por la derivada de lo que tiene “dentro” seno. Y también se utiliza la fórmula número 3:
$$(x^{4}+1)\frac{d}{dx}sen(\frac{x}{4})+sen(\frac{x}{4})\frac{d}{dx}(x^{4}+1)=(x^{4}+1)\left \lfloor cos(\frac{x}{4})\frac{d}{dx}\frac{x}{4} \right \rfloor+\left \lceil sen(\frac{x}{4}) \right \rceil\left \lfloor 4x^{3} \right \rfloor$$
3.- Se concluye realizando la última derivada utilizando la fórmula número 2, además de multiplicar los otros elementos de la derivada:
$$(x^{4}+1)\left \lfloor cos(\frac{x}{4})\frac{d}{dx}\frac{x}{4} \right \rfloor+\left \lceil sen(\frac{x}{4}) \right \rceil\left \lfloor 4x^{3} \right \rfloor=(x^{4}+1)\left [ cos(\frac{x}{4}) \right ]\left [ \frac{1}{4} \right ]+4x^{3}sen(\frac{x}{4})$$
4.- Por último, acomodamos la expresión con sus respectivas multiplicaciones y listo:
$$(x^{4}+1)\left [ cos(\frac{x}{4}) \right ]\left [ \frac{1}{4} \right ]+4x^{3}sen(\frac{x}{4})=\frac{1}{4}(x^{4}+1)cos(\frac{x}{4})+4x^{3}sen(\frac{x}{4})$$
Por lo tanto, $$f'(x)=\frac{1}{4}(x^{4}+1)cos(\frac{x}{4})+4x^{3}sen(\frac{x}{4})$$
Ahora todo tiene sentido, ¿Cierto?
No dejes de estudiar, para tu examen de admisión a la UNAM y entres a la carrera de tus sueños.